Texto Final - Georg Cantor

Olá, meus queridos!

Vejam o maravilhoso resultado da pesquisa de vocês.

Vocês são meu grande orgulho.

Feliz final de semana.

Beijos da profe.

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, nasceu no dia 3 de março de 1845 em St.Petesburg, Rússia, e morreu no dia 6 de janeiro de 1918 em Halle, Alemanha. Ele fundou a teoria dos conjuntos e introduziu o conceito de números infinitos com a sua descoberta de números cardinais. Ele também avançou o estudo das séries trigonométricas. 

Durante a última metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques de depressão, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forçou a ficar hospitalizado várias vezes. Provavelmente seria diagnosticado, hoje em dia, um transtorno bipolar - vulgo maníaco-depressivo.

Num certo período da vida chegou cursar engenharia, mas não tinha vocação para radical. Entrou em confronto com a igreja falando que era para os devotos abandonarem o dogma de que a Mãe de Jesus engravidou e continuou virgem. 

Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência. Fez a distinção entre conjuntos numeráveis e conjuntos contínuos. Provou que o conjunto dos números racionais Q é numerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo. Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia entre os numeráveis e os contínuos - em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo para representar o conjunto dos números reais.
Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua teoria dos conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância.
Cantor descobriu vários paradoxos causados pela teoria dos conjuntos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos.

A grande realização de Cantor foi a elaboração da primeira teoria matematicamente fecunda daquilo que Aristóteles chamou de "infinito atual" uma multidão interminável de coisas pensadas como simultaneamente reunidas e coexistentes. Por esse motivo Aristóteles achou que era necessário disciplinar o raciocínio. Assim, inventou a Lógica e fez do infinito um tabu. Cantor ousou comparar e hierarquizar os infinitos. Tornando explícita e matematicamente manipulável a atividade imemorial de "contar", ele estendeu-a aos conjuntos infinitos, viu que nem todos são iguais, e que um infinito pode ser menor do que outro. Como os números 1, 2, 3, ... só permitem a contagem de coleções finitas, ele criou um novo tipo de número transfinito e pretendeu catalogar todos os conjuntos infinitos e atribuir-lhes um tamanho em termos desses novos números.O próprio Cantor descobriu (1895) que não poderia existir algo como o conjunto de todos os conjuntos: tal existência contradizia um fato básico provado por ele mesmo, segundo o qual não há um infinito maior do que todos os outros. 

Se a todos os conjuntos infinitos se pode atribuir um número transfinito, a sua cardinalidade, então tem de existir um conjunto cujos membros incluam todos os números transfinitos. Então este conjunto teria de ter como cardinalidade o último (o maior) dos números transfinitos - no entanto Cantor afirmou que não existe tal número! Mas há mais: será que este conjunto, uma vez que inclui todos os conjuntos infinitos, se inclui a si próprio? 

Paradoxo na realidade seriam dois conjuntos de ideias que são conflitadas, ou seja, há contradições entre duas leis. A pedra no sapato dos matemáticos sempre foi o conceito de os números serem infinitos. O Paradoxo de Cantor foi na realidade ligada aos números que são infinitos. O paradoxo do barbeiro é um paradoxo que relaciona lógica matemática e teoria de conjuntos. O paradoxo considera uma aldeia onde, todos os dias, um barbeiro faz a barba de todos os homens que não se barbeiam sozinhos e não faz a barba de quem se barbeia sozinho. Isso vale para todos que estão na aldeia. Ora tal aldeia não pode existir:
Se o barbeiro é um homem que não se barbeia sozinho, então ele deve fazer a barba a si mesmo imediatamente, tornando-se um homem que se barbeia sozinho.
Se agora ele é um homem que se barbeia sozinho, então ele deve parar imediatamente de fazer a própria barba, tornando-se um homem que não se barbeia sozinho.
A regra resulta num paradoxo, pois o barbeiro ao mesmo tempo deve e não deve fazer a própria barba, não podendo se decidir sem quebrar a regra.

Frases de Cantor:

"A Essência da matemática é a sua liberdade"

Nas palavras de David Hilbert:
"Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou."

Texto elaborado baseado nos comentários do blog, feitos pelos alunos das turmas 301 e 303 do Colégio Estadual Imigrante - Caxias do Sul - RS