Esta crise surgiu dentro da escola Pitagórica, quando um dos seguidores de Pitágoras demonstrou que a medida da diagonal de um quadrado de lado uma unidade seria igual à raiz quadrada 2, o que na época era impossível, uma vez que se acreditava apenas na existência de números naturais (inteiros positivos) e alguns fracionários, mas admitidos como sendo a relação entre duas grandezas geométricas. Na verdade, os gregos acreditavam que para quaisquer dois segmentos, se podiam encontrar uma forma de representá-los um em função do outro, ou seja, que podiam ser estabelecidas razões entre quaisquer dois segmentos, porém, para o segmento da diagonal de um quadrado e o segmento da medida de seu lado, não conseguiram fazer o mesmo, demonstrando que estes segmentos não eram comensuráveis.
Esta descoberta causou grandes impactos sobre a escola pitagórica, uma vez que isso abalou o conceito de número que se tinha até aquela época. Isso acabou causando o desaparecimento da escola pitagórica, e, vinte e cinco séculos depois da descoberta dos incomensuráveis formaram-se uma nova concepção sobre a noção de número com a definição para números irracionais.
Cantor, voltado ao estudo do infinito, acreditava que existiam vários níveis de infinito. Ele estudou e juntamente com Bolzano e Dedekind, concebeu e desenvolveu a “teoria dos conjuntos” e as teorias sobre os conjuntos infinitos contáveis, como os racionais e os incontáveis, que é o caso dos irracionais. Cantor sistematizou uma teoria consistente sobre o infinito, ou seja, a base de toda a análise dos números irracionais, relacionando os números irracionais com o sistema dos números racionais, como sendo uma sequência infinita de números, ou seja, cujo limite tende ao infinito.
Para esclarecer o conceito de infinito, Cantor utilizou a ideia que se retirarmos um elemento de um conjunto infinito, esse, não fica com m elemento a menos, mas sim com a mesma quantidade que continha antes de ser retirado o elemento, e mais, podem ser retirados desse conjunto infinito, quantos elementos se queira, que o numero de elementos que pertence ao conjunto não irá ser alterado! Além desses estudos sobre o infinito, Cantor também contribuiu com sua teoria para as funções e outros elementos que têm caráter de continuidade para a matemática.
Apesar de ser uma teoria consistente, alguns questionamentos sobre a teoria dos conjuntos surgiram, e esses deram origem a vários paradoxos.
Basicamente, um paradoxo é algo que se apresenta de forma contraditória.
- O Paradoxo do Barbeiro é a forma popular de apresentação do paradoxo de Russel.
Na verdade o paradoxo do barbeiro nos faz refletir, pois se pensarmos num conjunto em que façam parte todas as pessoas de Sevilha, então o barbeiro também se inclui. Mas se olharmos a condição dois: o barbeiro não faz a barba de si próprio, nos questionamos de como ele faz a barba de todas as pessoas que pertencem a esse conjunto e não faz a sua? Ele deveria fazer a sua barba. É bastante interessante analisar isso!
- O Paradoxo de Burali-Forti
O paradoxo de Burali-Forti se baseia na teoria dos conjuntos, determinando que qualquer ordem existente, corresponde a um único número ordinal. Desta maneira, não é possível termos um conjunto de todos os ordinais, pois esse conjunto seria um novo ordinal. Por isso, não existe o conjunto de todos os números ordinais.
- O Paradoxo de Cantor
Este paradoxo esta ligado a cardinalidade dos conjuntos numéricos, ou seja, ao número de elementos que cada conjunto contém. Na verdade temos que, a cardinalidade de um conjunto não pode ser inferior a cardinalidade do conjunto de suas partes, pois todas as partes do conjunto são subconjuntos do conjunto inicial e, portanto também conjuntos, mas de outro lado tem-se também que, segundo Cantor, a cardinalidade de um conjunto qualquer é inferior a cardinalidade do conjunto das partes desse conjunto.
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