Exercícios de Vestibulares - Análise Combinatória (P.F.C.)

Princípio Fundamental da Contagem

Testes de Vestibulares

1.       (UEPG-PR) Em um concurso para preenchimento de 4 vagas de uma empresa participam exatamente 4 pessoas. De quantos modos diferentes pode sair o resultado desse concurso, apontando os classificados em 1º, 2º, 3º e 4º lugares?

a)      4

b)      12

c)      16

d)      24

e)      36

2.       (UTFPR) O número de palavras-código de 5 letras que podem ser formadas com as letras: a, b, c, d, e, f, g, h, sem que nenhuma letra possa ser repetida, é:

a)      56

b)      120

c)      720

d)      2401

e)      6720

3.       (UEL-PR) O número de anagramas da palavra teoria, que começam por vogal e terminam por vogal é:

a)      720

b)      384

c)      360

d)      288

e)      120

4.       (CESEP-PE) Num acidente automobilístico, após ouvir várias testemunhas, concluí-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2. Assinale então a única alternativa correspondente ao número de veículos suspeitos.

a)      1080

b)      10800

c)      10080

d)      840

e)      60480

5.       (PUC-PR) Atualmente, as placas de veículos têm 3 letras e 4 algarismos, e as antigas, 2 letras e 4 algarismos. Quantas placas a mais (em relação às antigas) poderão ser utilizadas? (Adote 26 letras do alfabeto e admita existirem placas constituídas por todos os algarismos iguais a 0.)

a)      4.760.000

b)      10.000

c)      169.000.000

d)      1.757.600.000

e)      1.000.000

O Problema da Quadratura do Círculo

A Geometria: um Mundo de Infinita Harmonia

(O Problema da Quadratura do Círculo)

A Geometria mereceu do renomado escritor argentino Ernesto Sábato um texto terno e delicioso:

“Tinha doze anos quando assisti à demonstração de um teorema de Geometria e senti uma espécie de vertigem. Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia. Não sabia, então, que acabara de descobrir o universo platônico, com sua ordem perfeita, com seus objetivos eternos e incorruptíveis, de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer. Assim, apesar de minha vocação ser a de escrever ou pintar, fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantástica.”

Apropriadamente já se definiu a Matemática com a “rainha e a serva de todas as ciências”. E o apanágio de sua majestade é o rigor, a lógica, a harmonia e sua linguagem precisa, universal.

“Na maior parte das ciências, - assevera Herman Hankel (1839-1873), matemático alemão – uma geração põe abaixo o que a outra construiu; e o que uma estabeleceu, a outra desfaz. Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.”

No frontispício da Academia de Platão, lia-se emblematicamente a inscrição: “Que nenhum desconhecedor da Geometria entre aqui.”

- Que faz Deus?, pergunta o discípulo.

- Deus eternamente geometriza, responde sabiamente Platão.

Ao longo da história, a Geometria glorifica dois problemas que se tornaram clássicos: quadratura do círculo e duplicação do cubo.

O problema da quadratura do círculo foi proposto por Anaxágoras (499-428 a.C.). Aprisionado em Atenas por suas ideias muito avançadas para a época: postulara a existência de um mente onisciente, que concedia ordem e constância ao Universo; o Sol possuía luz própria, que por sua vez iluminava a Lua. Anaxágoras foi professor de Péricles (490-429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos: Sócrates, Platão e Aristóteles.

Problema da quadratura do círculo: dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso.

Será que você consegue resolver esse desafio?

Tome como referência as fórmulas das áreas de cada uma das figuras.

Análise Combinatória - Senhas e mais senhas

Uma senha é um código formado por letras e/ou algarismos, que serve para garantir que em alguns ambientes entre apenas o proprietário da senha, ou quem ele autorizar.
O número de situações em que necessitamos de uma senha é hoje tão grande, que a pessoa que não possui nenhuma parece que não existe. Se em outros tempos o caixa de um banco exigia de uma pessoa que se identificasse por um documento de identidade, hoje ele pede simplesmente: "Digite sua senha".
Descobrir a senha de alguém sem ter qualquer informação, qualquer dica, não é nada fácil. Se existissem senhas formadas por apenas um dígito - uma letra ou um algarismo - teríamos apenas 36 senhas diferentes (26 letras e 10 algarismos), e, nesse caso, não seria tão difícil assim descobrir uma delas. Na linguagem das probabilidades, diríamos uma chance em 36.
Uma senha de dois dígitos, uma letra seguida de um algarismo, para ser descoberta já é mais difícil: 1 chance em 260. Por que 260? Vamos imaginar uma lista com todas as senhas possíveis colocadas em ordem, da seguinte maneira: A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, B0, B1, ..., Z8, Z9.
Apenas começadas por A teríamos 10 senhas. Outras 10 começadas por B, e outras 10 por C etc. Uma vez que são 26 letras e 10 senhas começadas por cada uma delas, podemos fazer 26 x 10 para obter o total de 260 senhas.
Pense agora: quantas senhas diferentes podem ser formadas por duas letras e dois algarismos?
Essa questão do cálculo da quantidade de senhas diferentes é apenas um dos tipos de problemas de Análise Combinatória.