Por que menos com menos dá mais?

Quando somos apresentados pela primeira vez aos números negativos, dizem-nos que ao multiplicarmos dois números menores que zero encontramos um número positivo, de modo que, por exemplo, (-2)x(-3)=+6. Isso muitas vezes parece bastante intrigante.
O primeiro ponto que devemos notar é que, partindo das convenções habituais da aritmética sobre os números positivos, temos a liberdade de definir (-2)x(-3) como bem entendermos. Poderia ser -99 ou 127 pi, se desejarmos. Portanto, a principal questão não é quanto ao valor real, e sim quanto ao valor adequado. Diversas linhas de pensamento convergem para o mesmo resultado- isto é, que (-2)x(-3)=+6. Inclui aqui o sinal + para enfatizar.
Mas por que isto é adequado? Eu gosto de interpretar um número negativo como uma dívida. Se minha conta no banco contém $-3, então eu devo $3 ao banco. Suponha que minha dívida seja multiplicada por 2 (positivo): nesse caso, ela certamente se transformará em uma dívida de $6. Portanto, faz sentido insistir que (+2)x(-3)=-6, e a maioria de nós ficaria satisfeita com isso. No entanto, o que seria (-2)x(-3)? Bem, se o banco cancelar amavelmente duas dívidas de $3 cada uma, eu terei $6 a mais- minha conta se alterou exatamente como se alteraria se eu tivesse depositado $+6. Portanto, em termos bancários queremos que (-2)x(-3) seja igual a +6.
O segundo argumento é que (+2)x(-3) e (-2)x(-3)não podem ser ambos iguais a +6. Se fosse assim, poderíamos eliminar o -3 e deduzir que +2=-2, o que é bastante tolo.
O terceiro argumento se inicia ressaltando uma premissa não declarada no segundo argumento: de que as leis habituais da aritmética devem continuar válidas para os números negativos. E prossegue, acrescentando que esse é um objetivo razoável, ainda que seja apenas pela elegância da matemática. Se quisermos que as leis habituais continuem válidas, então
(+2)x(-3)+(-2)x(-3)=(2-2)x(-3)=0x(-3)=0
Portanto
-6+(-2)x(-3)=0
Somando 6 a ambos os lados, vemos que
(-2)x(-3)=+6
De fato, um argumento semelhante justifica que (+2)x(-3) é igual a -6.
Juntando todas as ideias: a elegância da matemática nos leva a definir que menos vezes menos é igual a mais. Em aplicações como nas finanças, essa escolha se adapta diretamente à realidade. Assim, além de mantermos a simplicidade da aritmética, acabamos com um bom modelo para certos aspectos importantes do mundo real.
"Menos com menos dá mais" é uma convenção humana consciente, e não um fato inevitável da natureza.


Retirado do livro: Almanaque das curiosidades matemáticas. Ian Stewart.