Tronco de Cone (Desafio)

DESAFIO

Maria vende objetos que ela mesma decora, são peças para o enxoval de bebês, ela forrava e enfeitava latas de talco, vidros de cotonetes,  berços, ... O problema surgiu quando quis revestir um cesto desta forma:

Como fazer o molde para cortar o pano, de modo a revestir a superfície lateral e o fundo do cesto?


Podemos observar que o cesto tem a forma de um tronco de cone de bases paralelas. No qual a planificação da superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular, cujo raio é a geratriz do cone, e a planificação da superfície lateral do tronco de cone é um setor (pedaço) de coroa circular. O fundo será um círculo de mesmo raio do da base menor do cesto.

Sabendo que o cesto tem a forma e dimensões da figura a seguir:

Então para desenhá-lo, precisamos conhecer os raios (do setor circular) G e g além do

ângulo central a.

Os triângulos indicados na figura são semelhantes, portanto:

Para obter o ângulo central a, notamos que o arco de raio G, submetido por ele, tem

comprimento igual ao da circunferência de raio R. Logo:

Agora, como conhecemos todos os dados, vamos construir o setor de coroa circular.


Material

û   Folha de papel colorido (tecido)

û   Régua

û  Compasso

û  transferidor

û  Tesoura

û  Cola

Obs.: para facilitar usaremos uma escala  para as medidas, sendo  1:2cm.

Passos

• Na folha colorida marcar um ponto V
• Com o compasso com a ponta seca em V
• e abertura com a medida do raio G, desenhamos o arco maior
• e abertura com a medida do raio g, desenhamos outro arco menor.
• Traçar um segmento de reta que liga o ponto V ao arco maior ( raio G)
• Com o transferidor marcamos o ângulo α, e traçamos outro segmento para marcar esse ângulo.
• O setor compreendido entre os dois arcos e os dois “raios” é a planificação da superfície lateral.

Ficamos com essa figura

Recortando ficamos com uma figura desse tipo:

Mas ainda falta o fundo do cesto, o qual é um circulo de raio r. Desenhando ele grudado

ao arco menor, temos o revestimento para o cesto da Dona Maria.

Agora é só montar a figura e decorar o cesto!

Extras

1. Um depósito de combustível é um tronco de cone com raio da base inferior igual a 20m e raio da base superior igual a 10m. Sabendo que a altura do depósito é de 21m e que apenas 30% de sua capacidade estão ocupados por combustível, qual é quantidade, em litros, existente no depósito?

2. Um tronco tem bases de raios 6cm e 4cm. Sabendo que a geratriz do tronco mede 5

cm, calcular a área lateral e a área total do cone.

Tronco de cone

EM GEOMETRIA O QUE É TRONCO?

 Em geometria chama-se tronco a uma "fatia" cortada de um sólido geométrico (prisma, pirâmide, cilindro ou cone) por um plano que não intersecta as BASES (ou a única base, no caso da pirâmide e do cone). No caso de um prisma ou de um cilindro, o plano que corta o sólido num tronco não pode ser paralelo à base, caso contrário, ficamos com outros dois prismas ou outros dois cilindros. O mesmo não acontece com o cone e a pirâmide. Ficamos pelo menos com um tronco: corte-se o sólido paralelamente ou não.

CONE


CONES são sólidos geométricos formados pela união de todos os segmentos cujas extremidades são um ponto de uma base circular e um ponto V fora desta base.

No cone oblíquo o eixo é  obliquo à base.

No cone reto o eixo é perpendicular à base (90º).

O cone reto é também conhecido por cone de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360º de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

TRONCO DE CONE


Quando interceptamos um cone por um plano que é paralelo a base e não passa pelo vértice, determinamos dois sólidos: um deles é outro cone de mesmo vértice e o segundo é denominado tronco de cone de bases paralelas.

EM UM TRONCO DE CONE DESTACAMOS:

-Bases do tronco: são a base do cone e da secção.

-Altura: é a distância entre as bases do tronco.

-Geratriz: a parte de cada geratriz do cone dado limitada pelos círculos da base maior e da base menor é chamada “geratriz de tronco”.

TEMOS QUE:

R: medida do raio da base

r: medida do raio da secção

G: medida da geratriz do cone

g: medida da geratriz do tronco

TRONCO DE CONE CIRCULAR DE BASES

PARALELAS

Considerando um cone circular de vértice V e base C. Uma secção transversal C’ desse cone separa-o em dois sólidos: um cone de vértice V e base C’ e um tronco de cone de bases paralelas C e C’.

TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO DE BASES PARALELAS

 Um tronco de cone circular reto possui algumas propriedades que merecem destaque. Sejam R, r, g e h as medidas do raio da base maior, do raio da base menor, da geratriz e da altura de um tronco de cone circular reto, respectivamente.

I. Uma secção meridiana desse tronco é um trapézio isósceles. Pelo teorema de Pitágoras:

                   g² = h² + (R-r)²

II. Prolongando as geratrizes do tronco,obtemos um cone circular reto. Sendo H e G as medidas da altura e da geratriz desse cone, temos, da semelhança entre os triângulos LOM e PNM, que:

                                                              H/h = G/g = R/R - r