Quando pensamos nos matemáticos voltados ao estudo da geometria, logo nos vem em mente Euclides, pelo fato de estudarmos muito nas escolas a Geometria Euclidiana. Primeiramente precisamos saber quem foi Euclides, quais as descobertas que ele trouxe para a matemática e qual a sua importância na história da mesma.
Na pesquisas realizadas sobre a vida de Euclides, pode-se perceber que pouco se sabe sobre a vida, a personalidade e a sua aparência. Sabe-se que ele foi um matemático grego, provavelmente natural de Atenas e viveu por volta de 300 a.C. em Alexandria na Grécia, durante o reinado de Ptolomeu I. Essas referências sobre Euclides foram escritas séculos após a sua morte por Proclo. É muito provável que Euclides tenha recebido ensinamentos matemáticos dos primeiros discípulos de Platão. Euclides escreveu diversas obras, mas o seu grande e reconhecido trabalho é a obra Os Elementos.
Os Elementos, a grande obra de Euclides, é considerada uma obra-prima da aplicação da lógica à matemática e é muito influente em diversas áreas da ciência. Os Elementos são primeiramente conhecidos pelo seu conteúdo geométrico, porém podemos também utilizá-lo como base nos estudos da teoria dos números. Nessa obra, Euclides conseguiu incorporar todo seu conhecimento matemático, adquirido de diversos de seus antecessores, porém tudo isso foi elaborado com grande rigor matemático, que é o grande destaque da obra.
Esta obra está organizada em treze livros, num total de 465 proposições. Foram organizados primeiramente todos os princípios iniciais, definições, axiomas e postulados, os quais são necessários para a construção das demais proposições que se encontram nos demais livros e necessitam das definições dos livros anteriores para a resolução. Euclides criou estes livros, pois não havia todas as definições criadas anteriormente reunidas e com rigor teórico matemático apropriado.
Resumidamente, podemos salientar quais os assuntos que são tratados em cada livro:
Livro I: Definições, axiomas e postulados; os três casos de congruência de triângulo; teoria das paralelas; relações entre áreas de paralelogramos, triângulos e quadrados. Desenvolve importantes considerações sobre o Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maioria do conteúdo deste Livro é devido aos pitagóricos.
Livro II: Trata o que usualmente se designa por álgebra geométrica ou geometria das áreas, relações entre áreas dos quadrados e dos retângulos.
Livro III: Consiste em proposições contendo muitos dos teoremas conhecidos sobre ângulos, círculos, cordas, secantes e tangentes.
Livro IV: Construção de alguns polígonos regulares, bem como a sua inscrição e circunscrição num círculo.
Livro V: Teoria das Proporções de Eudoxo, proporções abstratas.
Livro VI: Aplicação dos resultados do Livro V à geometria plana.
Livros VII, VIII e IX: Livros consagrados à Teoria de Números.
Livro X: Sobre as grandezas irracionais. Classificação dos incomensuráveis. É o Livro mais extenso deste conjunto de treze Livros.
Livros XI, XII e XIII: Sobre geometria tridimensional ou geometria espacial. Geometria sólida, medida de figuras e sólidos regulares.
Podemos perceber que os teoremas presentes nos livros de Euclides foram demonstrados a partir dos cinco axiomas ou postulados de Euclides.
Postulado 1: Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si.
Postulado 2: Se iguais forem somados a iguais, então os todos são iguais.
Postulado 3: Se iguais forem subtraídos a iguais então os restos são iguais.
Postulado 4: Coisas que coincidem umas com outras são iguais entre si.
Postulado 5: O todo é maior que a parte.
Ao realizar a disciplina de Geometria I, faz-se referência aos postulados abaixo:
Postulado da existência:
a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
b) Num plano há infinitos pontos.
Ou ainda:
Postulado da determinação da reta: Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles.
Já o quinto postulado (axioma) de Euclides, desde cedo foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os restantes, recebendo várias críticas, foi considerado um axioma com muitas dificuldades de resolução, por não ser tão evidente quanto os outros quatro axiomas. O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposição a partir de outros axiomas da geometria, porém não obtiveram êxito. Somente no século XIX, Gauss e outros estudiosos conseguiram demonstrar que se trata efetivamente de um axioma, necessário e independente dos outros.
Por fim, este axioma pode ser dividido em outros dois:
· Por um ponto exterior a uma reta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta reta (geometria de Lobachevski);
· Por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a esta reta (geometria de Riemann).
Porém isto deu origem à construção de duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição. As geometrias não euclidianas (hiperbólica e esférica) surgiram a fim de demonstrar que o quinto axioma era teorema. A partir daí, cada uma delas partiu dos quatro primeiros axiomas, sendo que além desses a geometria esférica considerou que no quinto axioma a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180°.
A geometria esférica tem importantes aplicações na navegação e na astronomia e os seus segmentos são geodésias, que são grandes círculos. Além disso, na superfície esférica não existe retas paralelas e a reta é a circunferência máxima.
