Euclides, os Elementos e a Geometria

            Quando pensamos nos matemáticos voltados ao estudo da geometria, logo nos vem em mente Euclides, pelo fato de estudarmos muito nas escolas a Geometria Euclidiana. Primeiramente precisamos saber quem foi Euclides, quais as descobertas que ele trouxe para a matemática e qual a sua importância na história da mesma.

Na pesquisas realizadas sobre a vida de Euclides, pode-se perceber que pouco se sabe sobre a vida, a personalidade e a sua aparência. Sabe-se que ele foi um matemático grego, provavelmente natural de Atenas e viveu por volta de 300 a.C. em Alexandria na Grécia, durante o reinado de Ptolomeu I. Essas referências sobre Euclides foram escritas séculos após a sua morte por Proclo. É muito provável que Euclides tenha recebido ensinamentos matemáticos dos primeiros discípulos de Platão. Euclides escreveu diversas obras, mas o seu grande e reconhecido trabalho é a obra Os Elementos.

Os Elementos, a grande obra de Euclides, é considerada uma obra-prima da aplicação da lógica à matemática e é muito influente em diversas áreas da ciência. Os Elementos são primeiramente conhecidos pelo seu conteúdo geométrico, porém podemos também utilizá-lo como base nos estudos da teoria dos números. Nessa obra, Euclides conseguiu incorporar todo seu conhecimento matemático, adquirido de diversos de seus antecessores, porém tudo isso foi elaborado com grande rigor matemático, que é o grande destaque da obra.

            Esta obra está organizada em treze livros, num total de 465 proposições. Foram organizados primeiramente todos os princípios iniciais, definições, axiomas e postulados, os quais são necessários para a construção das demais proposições que se encontram nos demais livros e necessitam das definições dos livros anteriores para a resolução. Euclides criou estes livros, pois não havia todas as definições criadas anteriormente reunidas e com rigor teórico matemático apropriado.

Resumidamente, podemos salientar quais os assuntos que são tratados em cada livro:

Livro I: Definições, axiomas e postulados; os três casos de congruência de triângulo; teoria das paralelas; relações entre áreas de paralelogramos, triângulos e quadrados. Desenvolve importantes considerações sobre o Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maioria do conteúdo deste Livro é devido aos pitagóricos.  

Livro II: Trata o que usualmente se designa por álgebra geométrica ou geometria das áreas, relações entre áreas dos quadrados e dos retângulos.

Livro III: Consiste em proposições contendo muitos dos teoremas conhecidos sobre ângulos, círculos, cordas, secantes e tangentes.

Livro IV: Construção de alguns polígonos regulares, bem como a sua inscrição e circunscrição num círculo.

Livro V: Teoria das Proporções de Eudoxo, proporções abstratas.

Livro VI: Aplicação dos resultados do Livro V à geometria plana.

Livros VII, VIII e IX: Livros consagrados à Teoria de Números.

Livro X: Sobre as grandezas irracionais. Classificação dos incomensuráveis. É o Livro mais extenso deste conjunto de treze Livros.

Livros XI, XII e XIII: Sobre geometria tridimensional ou geometria espacial. Geometria sólida, medida de figuras e sólidos regulares.

Podemos perceber que os teoremas presentes nos livros de Euclides foram demonstrados a partir dos cinco axiomas ou postulados de Euclides.

Postulado 1: Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si.

Postulado 2: Se iguais forem somados a iguais, então os todos são iguais.

Postulado 3: Se iguais forem subtraídos a iguais então os restos são iguais.

Postulado 4: Coisas que coincidem umas com outras são iguais entre si.

Postulado 5: O todo é maior que a parte.

Ao realizar a disciplina de Geometria I, faz-se referência aos postulados abaixo:

Postulado da existência:

a)      Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.

b)      Num plano há infinitos pontos.

            Ou ainda:

            Postulado da determinação da reta: Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles.

Já o quinto postulado (axioma) de Euclides, desde cedo foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os restantes, recebendo várias críticas, foi considerado um axioma com muitas dificuldades de resolução, por não ser tão evidente quanto os outros quatro axiomas. O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposição a partir de outros axiomas da geometria, porém não obtiveram êxito. Somente no século XIX, Gauss e outros estudiosos conseguiram demonstrar que se trata efetivamente de um axioma, necessário e independente dos outros.

Por fim, este axioma pode ser dividido em outros dois:

·         Por um ponto exterior a uma reta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta reta (geometria de Lobachevski);

·         Por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a esta reta (geometria de Riemann).

Porém isto deu origem à construção de duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição. As geometrias não euclidianas (hiperbólica e esférica) surgiram a fim de demonstrar que o quinto axioma era teorema. A partir daí, cada uma delas partiu dos quatro primeiros axiomas, sendo que além desses a geometria esférica considerou que no quinto axioma a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180°.

            A geometria esférica tem importantes aplicações na navegação e na astronomia e os seus segmentos são geodésias, que são grandes círculos. Além disso, na superfície esférica não existe retas paralelas e a reta é a circunferência máxima.

CRISE DOS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

          Esta crise surgiu dentro da escola Pitagórica, quando um dos seguidores de Pitágoras demonstrou que a medida da diagonal de um quadrado de lado uma unidade seria igual à raiz quadrada 2, o que na época era impossível, uma vez que se acreditava apenas na existência de números naturais (inteiros positivos) e alguns fracionários, mas admitidos como sendo a relação entre duas grandezas geométricas.  Na verdade, os gregos acreditavam que para quaisquer dois segmentos, se podiam encontrar uma forma de representá-los um em função do outro, ou seja, que podiam ser estabelecidas razões entre quaisquer dois segmentos, porém, para o segmento da diagonal de um quadrado e o segmento da medida de seu lado, não conseguiram fazer o mesmo, demonstrando que estes segmentos não eram comensuráveis.

            Esta descoberta causou grandes impactos sobre a escola pitagórica, uma vez que isso abalou o conceito de número que se tinha até aquela época. Isso acabou causando o desaparecimento da escola pitagórica, e, vinte e cinco séculos depois da descoberta dos incomensuráveis formaram-se uma nova concepção sobre a noção de número com a definição para números irracionais. 

            Cantor, voltado ao estudo do infinito, acreditava que existiam vários níveis de infinito. Ele estudou e juntamente com Bolzano e Dedekind, concebeu e desenvolveu a “teoria dos conjuntos” e as teorias sobre os conjuntos infinitos contáveis, como os racionais e os incontáveis, que é o caso dos irracionais. Cantor sistematizou uma teoria consistente sobre o infinito, ou seja, a base de toda a análise dos números irracionais, relacionando os números irracionais com o sistema dos números racionais, como sendo uma sequência infinita de números, ou seja, cujo limite tende ao infinito.

            Para esclarecer o conceito de infinito, Cantor utilizou a ideia que se retirarmos um elemento de um conjunto infinito, esse, não fica com m elemento a menos, mas sim com a mesma quantidade que continha antes de ser retirado o elemento, e mais, podem ser retirados desse conjunto infinito, quantos elementos se queira, que o numero de elementos que pertence ao conjunto não irá ser alterado! Além desses estudos sobre o infinito, Cantor também contribuiu com sua teoria para as funções e outros elementos que têm caráter de continuidade para a matemática.

            Apesar de ser uma teoria consistente, alguns questionamentos sobre a teoria dos conjuntos surgiram, e esses deram origem a vários paradoxos.

Basicamente, um paradoxo é algo que se apresenta de forma contraditória.

- O Paradoxo do Barbeiro é a forma popular de apresentação do paradoxo de Russel.

            Na verdade o paradoxo do barbeiro nos faz refletir, pois se pensarmos num conjunto em que façam parte todas as pessoas de Sevilha, então o barbeiro também se inclui. Mas se olharmos a condição dois: o barbeiro não faz a barba de si próprio, nos questionamos de como ele faz a barba de todas as pessoas que pertencem a esse conjunto e não faz a sua? Ele deveria fazer a sua barba. É bastante interessante analisar isso!

- O Paradoxo de Burali-Forti

            O paradoxo de Burali-Forti se baseia na teoria dos conjuntos, determinando que qualquer ordem existente, corresponde a um único número ordinal. Desta maneira, não é possível termos um conjunto de todos os ordinais, pois esse conjunto seria um novo ordinal. Por isso, não existe o conjunto de todos os números ordinais.

           

- O Paradoxo de Cantor

            Este paradoxo esta ligado a cardinalidade dos conjuntos numéricos, ou seja, ao número de elementos que cada conjunto contém. Na verdade temos que, a cardinalidade de um conjunto não pode ser inferior a cardinalidade do conjunto de suas partes, pois todas as partes do conjunto são subconjuntos do conjunto inicial e, portanto também conjuntos, mas de outro lado tem-se também que, segundo Cantor, a cardinalidade de um conjunto qualquer é inferior a cardinalidade do conjunto das partes desse conjunto. 

Número, algarismo e numeral. Qual a relação entre eles?

A relação que existe entre número, algarismo e numeral é que ambos surgiram para representar quantidade.

Para uma melhor compreensão será exemplificada cada uma dessas representações:

* números – naturais, reais, racionais, irracionais, inteiros;

* algarismos – 0 ao 9;

* numeral – primeiro, duplo, meio, dúzia, centena, XIX.

Número Primo

Um número é chamado de primo quando ele é um número natural, que possui exatamente dois divisores, o um e ele mesmo.
Ele é citado no livro IX, onde Euclides prova que existem infinitos números primos.
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplo:

· 161
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é primo.

· 113
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.