Lista de Exercícios Extras - Análise Combinatória

1)       Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados?

2)       Renato vai a um clube no qual existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Ele pretende ir ao 6º andar. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?

3)       Uma pessoa possui 10 envelopes diferentes e 8 selos diferentes. De quantos modos essa pessoa pode enviar uma carta utilizando 1 envelope e 1 selo?

4)       (Unicamp-SP) Sabendo que números de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos.

5)       (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si; todas elas devem ser usadas para pintar as 5 letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso?

6)       Da palavra LIVRO:

a)       Quantos anagramas podemos formar?

b)       Quantos são os anagramas que começam com vogal?

c)       Quantos são os anagramas que começam com consoante?

7)       Da palavra ADESIVO:

a)       Quantos anagramas podemos formar com as letras SI juntas e nessa ordem?

b)       Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam com a letra D e terminam com a letra V?

8)       (Fuvest-SP) Qual é o número de anagramas da palavra FUVEST, que começam e terminam com vogal?

9)       (FEI-SP) Obter o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA, nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições.

10)   Calcule o valor dos números fatoriais:

a)       4! 2!

b)       0! + 1!

c)       0! 5! 3!

d)       6! - 1!

11)   Simplifique as expressões:

a)       15! / 13!

b)       8! / 4! 6!

c)       2 . 4! / 4! 4!

d)       (n + 1)! / n!

e)       (n - 1)! / (n+1)!

12)   Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5}?

13)   Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos 3, que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha?

14)   Duas pessoa entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?

15)   Qual o número de maneiras diferentes segundo as quais 1 casal, 2 filhos e 1 filha podem sentar-se em torno de uma mesa circular, com a condição de que os 2 filhos não fiquem juntos?

16)   Num grande prêmio de Fórmula 1, participarão 20 pilotos e somente os 6 primeiros marcam pontos. Quantas são as possibilidades de classificação nos 6 primeiros lugares?

17)   Quantos números diferentes de 4 lâmpadas podem ficar acesos num galpão que têm 10 lâmpadas?

18)   Quantos subconjuntos de 4 elementos possuem um  conjunto de 6 elementos?

19)   Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembléia de 12 participantes?

20)   Uma papelaria tem 8 cadernos de cores diferentes, e quero comprar 3 cores diferentes. Quantas possibilidades de escolha eu tenho?

21)   Quantos produtos de 2 fatores podemos obter com os divisores naturais do número 12?

22)   (Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. Qual o número total de lutas que podem ser realizadas entre os inscritos?

Exercícios de Vestibulares - Análise Combinatória (P.F.C.)

Princípio Fundamental da Contagem

Testes de Vestibulares

1.       (UEPG-PR) Em um concurso para preenchimento de 4 vagas de uma empresa participam exatamente 4 pessoas. De quantos modos diferentes pode sair o resultado desse concurso, apontando os classificados em 1º, 2º, 3º e 4º lugares?

a)      4

b)      12

c)      16

d)      24

e)      36

2.       (UTFPR) O número de palavras-código de 5 letras que podem ser formadas com as letras: a, b, c, d, e, f, g, h, sem que nenhuma letra possa ser repetida, é:

a)      56

b)      120

c)      720

d)      2401

e)      6720

3.       (UEL-PR) O número de anagramas da palavra teoria, que começam por vogal e terminam por vogal é:

a)      720

b)      384

c)      360

d)      288

e)      120

4.       (CESEP-PE) Num acidente automobilístico, após ouvir várias testemunhas, concluí-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2. Assinale então a única alternativa correspondente ao número de veículos suspeitos.

a)      1080

b)      10800

c)      10080

d)      840

e)      60480

5.       (PUC-PR) Atualmente, as placas de veículos têm 3 letras e 4 algarismos, e as antigas, 2 letras e 4 algarismos. Quantas placas a mais (em relação às antigas) poderão ser utilizadas? (Adote 26 letras do alfabeto e admita existirem placas constituídas por todos os algarismos iguais a 0.)

a)      4.760.000

b)      10.000

c)      169.000.000

d)      1.757.600.000

e)      1.000.000

O Problema da Quadratura do Círculo

A Geometria: um Mundo de Infinita Harmonia

(O Problema da Quadratura do Círculo)

A Geometria mereceu do renomado escritor argentino Ernesto Sábato um texto terno e delicioso:

“Tinha doze anos quando assisti à demonstração de um teorema de Geometria e senti uma espécie de vertigem. Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia. Não sabia, então, que acabara de descobrir o universo platônico, com sua ordem perfeita, com seus objetivos eternos e incorruptíveis, de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer. Assim, apesar de minha vocação ser a de escrever ou pintar, fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantástica.”

Apropriadamente já se definiu a Matemática com a “rainha e a serva de todas as ciências”. E o apanágio de sua majestade é o rigor, a lógica, a harmonia e sua linguagem precisa, universal.

“Na maior parte das ciências, - assevera Herman Hankel (1839-1873), matemático alemão – uma geração põe abaixo o que a outra construiu; e o que uma estabeleceu, a outra desfaz. Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.”

No frontispício da Academia de Platão, lia-se emblematicamente a inscrição: “Que nenhum desconhecedor da Geometria entre aqui.”

- Que faz Deus?, pergunta o discípulo.

- Deus eternamente geometriza, responde sabiamente Platão.

Ao longo da história, a Geometria glorifica dois problemas que se tornaram clássicos: quadratura do círculo e duplicação do cubo.

O problema da quadratura do círculo foi proposto por Anaxágoras (499-428 a.C.). Aprisionado em Atenas por suas ideias muito avançadas para a época: postulara a existência de um mente onisciente, que concedia ordem e constância ao Universo; o Sol possuía luz própria, que por sua vez iluminava a Lua. Anaxágoras foi professor de Péricles (490-429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos: Sócrates, Platão e Aristóteles.

Problema da quadratura do círculo: dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso.

Será que você consegue resolver esse desafio?

Tome como referência as fórmulas das áreas de cada uma das figuras.

Análise Combinatória - Senhas e mais senhas

Uma senha é um código formado por letras e/ou algarismos, que serve para garantir que em alguns ambientes entre apenas o proprietário da senha, ou quem ele autorizar.
O número de situações em que necessitamos de uma senha é hoje tão grande, que a pessoa que não possui nenhuma parece que não existe. Se em outros tempos o caixa de um banco exigia de uma pessoa que se identificasse por um documento de identidade, hoje ele pede simplesmente: "Digite sua senha".
Descobrir a senha de alguém sem ter qualquer informação, qualquer dica, não é nada fácil. Se existissem senhas formadas por apenas um dígito - uma letra ou um algarismo - teríamos apenas 36 senhas diferentes (26 letras e 10 algarismos), e, nesse caso, não seria tão difícil assim descobrir uma delas. Na linguagem das probabilidades, diríamos uma chance em 36.
Uma senha de dois dígitos, uma letra seguida de um algarismo, para ser descoberta já é mais difícil: 1 chance em 260. Por que 260? Vamos imaginar uma lista com todas as senhas possíveis colocadas em ordem, da seguinte maneira: A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, B0, B1, ..., Z8, Z9.
Apenas começadas por A teríamos 10 senhas. Outras 10 começadas por B, e outras 10 por C etc. Uma vez que são 26 letras e 10 senhas começadas por cada uma delas, podemos fazer 26 x 10 para obter o total de 260 senhas.
Pense agora: quantas senhas diferentes podem ser formadas por duas letras e dois algarismos?
Essa questão do cálculo da quantidade de senhas diferentes é apenas um dos tipos de problemas de Análise Combinatória.